Tehnik-ast.ru

Электро Техник
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Пружинный маятник ☑️ формулы определения периода и частоты свободных колебаний, полной, кинетической и потенциальной энергий, виды, уравнения свободных и гармонических колебаний маятника

Пружинный маятник ☑️ формулы определения периода и частоты свободных колебаний, полной, кинетической и потенциальной энергий, виды, уравнения свободных и гармонических колебаний маятника

Пружинный маятник получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств.

Скорость груза пружинного маятника

Рассмотрим пружинный маятник, который представляет собой груз массой $m$, подвешенный на пружине, которую считают абсолютно упругой (ее коэффициент упругости равен $k$). Пусть груз движется вертикально, движения происходят под воздействием силы упругости пружины и силы тяжести, если система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза. Начало отсчета поместим на оси X (ось направлена вниз) в точке равновесия груза.

Пружинный маятник является примером гармонического осциллятора. Колебания гармонического осциллятора служат важным примером периодического движения и являются моделью во многих задачах физики. Колебания такого груза можно считать гармоническими и описывать при помощи уравнения:

где $xleft(tright)$ – смещение груза от положения равновесия в момент времени ($t$); $_0=sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$- амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+alpha )$ – фаза колебаний; $alpha $ – начальная фаза колебаний.

Скорость колебаний груза при этом найдем как:

Амплитудой скорости колебаний груза при этом является величина равная:

Для пружинного маятника амплитуда колебаний скорости груза равна:

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

k – коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Читайте так же:
Какое бывает давление газа

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

Амплитуда период частота колебаний

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Амплитуда период частота колебаний

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой

. Положению равновесия отвечает значение

. Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции

, дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них – синус и косинус – являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания – это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому – амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1) :

График функции (1) , выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1 .

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Читайте так же:
Tl5551 datasheet на русском

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2 .

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3 .

Рис. 3. Закон синуса

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Калькуляторы по физике

Кликните, чтобы добавить в избранные сервисы. Колебания. Физика.

Примечания [ править | править код ]

  1. 1234 ОСТ 45.159-2000. Отраслевая система обеспечения единства измерений. Термины и определения
  2. 123 ГОСТ 16465-70. Сигналы радиотехнические измерительные. Термины и определения

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника.

В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Пружинный, физический и математический маятники.

Материальную точку, совершающую колебания, называют осциллятором (от английского слова oscillation — колебание).

Таким образом, рассмотренные выше колебания представляют собой частные случаи свободных колебаний гармонического осциллятора:

решение, которого будем записывать в виде:

где A– амплитуда колебаний; ω – собственная частота; величина ωt+a–фаза колебания.

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.

1. Пружинный маятник.

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массы m, подвешенного на пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы (рис.15.1).

Обозначим смещение пружины из положения равновесия x. Тогда сила, возникающая в пружине при выведении шарика из положения равновесия, будет равна

Эта сила пропорциональна величине смещения и направлена к положению равновесия. В таком случае уравнение движения шарика, согласно второму закону Ньютона, запишется в виде

Обозначив , перепишем уравнение движения пружинного маятника:

Из уравнения (15.3.2) следует, что движение пружинного маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Решение уравнения (15.3.2) имеет вид

где — частота гармонических колебаний.

Тогда — период колебаний пружинного маятника.

2. Физический маятник

Твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции называется физическим маятником (рис.15.2).

Покажем, что и физический маятник будет совершать гармонические колебания.

В положении равновесия центр инерции маятника (С) находится под точкой подвеса (О) на одной с ней вертикали.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен произведению силы тяжести на плечо силы (d):

Читайте так же:
Выбор лазерного уровня для дома

где — расстояние между центром инерции и точкой подвеса.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, вращательный момент равен

В случае малых колебаний sinj

j и, приравнивая (15.3.3) и (15.3.4), получим уравнение колебаний физического маятника:

и перепишем уравнение (15.3.5) в виде

Уравнение колебаний физического маятника (15.3.6) представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (15.3.6) будет функция вида

т.е. при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота и период которых определяются из следующих соотношений:

где — приведенная длина физического маятника (на рис. 15.2 приведенная длина соответствует отрезку ОО / ). Точка О / на продолжении прямой ОС, отстоящей от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины, называется центром качаний физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

3. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешено тело точечной массы m и совершающей колебания под действием силы тяжести.

Приближенно можно считать математическим маятником небольшой, нетяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис.15.3).

Отклоним маятник от положения равновесия на угол a и предоставим ему возможность совершать колебания.

На маятник в отклоненном состоянии действует возвращающая сила

Она направлена по касательной к траектории движения шарика в сторону положения равновесия. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения математического маятника запишется в виде

В общем случае решение уравнения сложно.

Рассмотрим случай, когда отклонение маятника от положения равновесия настолько малы, что синус угла можно считать пропорциональным величине угла:

Тогда смещение по дуге приближенно можно считать равным смещению вдоль горизонтальной хорды и синус угла a заменить отношением смещения x к длине нити

и подставляя его в уравнение (15.3.7), получим уравнение движения математического маятника:

Из вида уравнения (15.3.8) следует, что движение математического маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (15.3.8) является функция вида

т.е. математический маятник совершает гармонические колебания с частотой

Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника.

Математический маятник представляет собой частный случай физического маятника, где вся масса твердого тела сосредоточена в одной точке, находящейся на постоянном расстоянии от точки вращения.

Период колебаний пружинного маятника

Одной из простейших колебательных систем, удобных для изучения, является пружинный маятник. Рассмотрим его подробнее, получим формулу периода колебаний.

Пружинный маятник

Идеальный пружинный маятник представляет собой некоторую точечную массу $m$, которая закреплена на одном конце пружины с постоянной жесткостью $k$, а другой конец пружины – закреплен к неподвижной опоре. Больше никакие силы на пружинный маятник не действуют, и он способен к совершению свободных незатухающих колебаний.

Читайте так же:
Как проверить тиристор не выпаивая из схемы

Рис. 1. Горизонтальный пружинный маятник.

Уравнение движения пружинного маятника

Пусть начало координат находится в точке покоя маятника. Тогда, если маятник выведен из состояния равновесия на расстояние $x$, со стороны пружины на него начинает действовать сила $F=-kx$.

Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила, то оно приобретает ускорение:

Скорость – это производная координаты. А ускорение – производная скорости. Следовательно, ускорение – это вторая производная координаты. Получим уравнение:

То есть, вторая производная координаты пропорциональна самой координате, взятой с противоположным знаком. Это дифференциальное уравнение, и в высшей математике доказывается, что единственная функция, являющаяся его решением – это круговая функця (синус или косинус).

Если взять вторую производную этой функции, то можно убедиться, что она равна самой себе, с противоположным знаком и необходимым коэффициентом.

Период колебаний маятника

Сравним полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний:

$$x(t)=A cos( omega t+varphi)$$

Можно видеть, что фаза $varphi$ в уравнении координаты движения маятника равна нулю, а коэффициент $sqrt $ представляет собой круговую частоту. Учитывая формулу, связывающей круговую частоту и период, получим формулу периода колебаний пружинного маятника:

Действительно, чем больше масса пружинного маятника, тем дольше будут совершаться колебания. А чем больше жесткость пружины, тем период колебаний будет меньше. Но величины эти связаны с периодом не прямо, а через коренную зависимость, то есть, для увеличения периода маятника вдвое, надо либо увеличить массу маятника вчетверо, либо во столько же раз уменьшить жесткость пружины.

Период колебаний пружинного маятника

Рис. 2. Период колебаний пружинного маятника.

В реальности на маятник всегда действует сила тяжести, кроме того, в нем происходят потери, связанные с трением и нагревом пружины. Поэтому, его колебания будут затухающими, а их период будет немного отличаться от расчетного. Наиболее близким к идеальному пружинному маятнику является механизм часового балансира.

Часовой балансир

Рис. 3. Часовой балансир.

Что мы узнали?

Пружинный маятник – это точечная масса, двигающая под воздействием пружины постоянной жесткости. Период колебаний пружинного маятника пропорционален корню из отношения его массы к жесткости пружины.

Урок » Пружинный и математический маятник. Решение задач»

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема занятия:

Колебательное движение. Математический и пружинный маятник. Решение задач.

Учебник «Физика и астрономия» 9 класс

Закрепить знания о характеристиках колебательного движения; научиться использовать теоретические знания на практике.

формировать умения наблюдать и анализировать физические явления; способствовать развитию умений вести диалог и работать самостоятельно, совершенствовать навыки решения задач ;

Читайте так же:
Как заменить патрон на шуруповерте макита

воспитывать познавательный интерес к предмету,активной позиции на уроке, коммуникативных навыков.

Результаты обучения:

Ученики знают понятия, характеризующие колебательное движение, формулы определения периода колебания математического и пружинного маятника.

Умеют решать задачи на период колебаний математического и пружинного маятника.

Ключевые идеи:

колебательная система, математический, пружинный маятники; основные характеристики колебательного движения:

Материалы и оборудование

Интерактивная доска, карточки с заданиями, модельный ответ, листы А3, маркеты, фломастеры.

Этапы проведения урока

Время 40 мин

Действия преподавателя и действия участников

Организация

класса.

Приветствие учащихся и контроль отсутствующих на уроке.

«Мир, в котором мы живем,

удивительно склонен к колебаниям».

Актуализация знаний.

Повторение с целью актуализация знаний.

Группам раздаются квадратики с буквами, в течение 1 мин необходимо составить из этих букв 3 физических термина и дать им определение

Как вы думаете, что объединяет все эти понятия? Колебательное движение. Скажите эти понятия являются для вас новыми или вы с ними уже знакомы? А что мы знаем по данной теме? (понятия и формулы)

Значить теоритический материал вам знаком и сегодня на уроке мы переходим к практической части данного материала, а именно к чему? (решению задач)

Итак сформулируйте тему урока: Колебательное движение. Математический и пружинный маятник.

Исходя из темы нашего урока, какую цель мы перед собой будем ставить: Повторить теоритический материал по разделу колебательное движение.

Научиться применять полученные знания на практике при решении задач.

Давайте начнем с повторения теоретического материала. Я предлагаю вам открыть ноутбуки просмотреть ролики в ресурсе BILIMLAND «Пружинный и математический маятник» в конце каждой подтемы выполните задание.

Решение задач.

II этапом нашего урока будет решение задач индивидуально.

1. Определите период и количество колебаний пружинного маятника за 20 с, если жесткость его пружины равна 40Н/м, а масса груза 100 г.

2. Как надо изменить жёсткость пружины маятника, чтобы увеличить частоту его колебаний в 3 раза?

3. Маленький грузик массой 0,025кг, закреплённый на пружине, совершает гармонические колебания. График зависимости координаты x этого грузика от времени t изображён на рисунке. Какова жёсткость пружины? (Ответ дайте в Н/м.)

hello_html_2572a9bd.png

Решение задач и ответ находятся на 1 столе, каждый, кто решил, может пройти и проверить свою задачу.

Рефлексия

Итог урока СО

Подведем итог нашей работы. Проверкой количеством решенных задач. Каждая задача соответствует 1 баллу. Количество набранных баллов это и есть ваша оценка.

Итак ребята по какой теме мы работали сегодня на уроке? Какую цель ставили перед собой? Достигли мы этой цели?

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector