Tehnik-ast.ru

Электро Техник
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Сила упругости и закон Гука

Сила упругости и закон Гука

Чем большей деформации подвергается тело, тем значительней в нем возникает сила упругости. Это значит, что деформация и сила упругости взаимосвязаны, и по изменению одной величины можно судить об изменении другой. Так, зная деформацию тела, можно вычислить возникающую в нем силу упругости. Или, зная силу упругости, определить степень деформации тела.

Если к пружине подвешивать разное количество гирек одинаковой массы, то чем больше их будет подвешено, тем сильнее пружина растянется, то есть деформируется. Чем больше растянута пружина, тем большая в ней возникает силы упругости. Причем опыт показывает, что каждая следующая подвешенная гирька увеличивает длину пружины на одну и туже величину.

Так, например, если исходная длина пружины была 5 см, а подвешивание на ней одной гирьки увеличило ее на 1 см (т. е. пружина стала длиной 6 см), то подвешивание двух гирек увеличит ее на 2 см (общая длина составит 7 см), а трех — на 3 см (длина пружины будет 8 см).

Еще до опыта известно, что вес и возникающая под его действием сила упругости находятся друг с другом в прямопропорциональной зависимости. Кратное увеличение веса во столько же раз увеличит силу упругости. Опыт же показывает, что деформация точно также зависит от веса: кратное увеличение веса во столько же раз увеличивает изменения в длине. Это значит, что, исключив вес, можно установить прямопропорциональную зависимость между силой упругости и деформацией.

Если обозначить удлинение пружины в результате ее растяжения как x или как ∆ l ( l 1 – l , где l — начальная длина, l 1 — длина растянутой пружины), то зависимость силы упругости от растяжения можно выразить такой формулой:

В формуле используется коэффициент k . Он показывает, в какой именно зависимости находятся сила упругости и удлинение. Ведь удлинение на каждый сантиметр может увеличивать силу упругости одной пружины на 0,5 Н, второй на 1 Н, а третьей на 2 Н. Для первой пружины формула будет выглядеть как Fупр = 0,5x, для второй — Fупр = x, для третьей — Fупр = 2x.

Коэффициент k называют жесткостью пружины. Чем жестче пружина, тем труднее ее растянуть, и тем большее значение будет иметь k. А чем больше k, тем больше будет сила упругости (Fупр) при равных удлинения (x) разных пружин.

Жесткость зависит от материала, из которого изготовлена пружина, ее формы и размеров.

Единицей измерения жесткости является Н/м (ньютон на метр). Жесткость показывает, сколько ньютонов (сколько сил) надо приложить к пружине, чтобы растянуть ее на 1 м. Или насколько метров растянется пружина, если приложить для ее растяжения силу в 1 Н. Например, к пружине приложили силу в 1 Н, и она растянулась на 1 см (0,01 м). Это значит, что ее жесткость равна 1 Н / 0,01 м = 100 Н/м.

Также, если обратить внимание на единицы измерения, то станет понятно, почему жесткость измеряется в Н/м. Сила упругости, как и любая сила, измеряется в ньютонах, а расстояние — в метрах. Чтобы уровнять по единицам измерения левую и правую части уравнения Fупр = kx, надо в правой части сократить метры (то есть поделить на них) и добавить ньютоны (то есть умножить на них).

Соотношение между силой упругости и деформацией упругого тела, описываемое формулой Fупр = kx, открыл английский ученый Роберт Гук в 1660 году, поэтому это соотношение носит его имя и называется законом Гука.

Упругой деформацией является такая, когда после прекращения действия сил, тело возвращается в свое исходное состояние. Бывают тела, которые почти нельзя подвергнуть упругой деформации, а у других она может быть достаточно большой. Например, поставив тяжелый предмет на кусок мягкой глины, вы измените его форму, и этот кусок сам уже не вернется в исходное состояние. Однако если вы растяните резиновый жгут, то после того, как отпустите его, он вернет свои исходные размеры. Следует помнить, что закон Гука применим только для упругих деформаций.

Читайте так же:
Как сделать направляющие для станка

Формула Fупр = kx дает возможность по известным двум величинам вычислять третью. Так, зная приложенную силу и удлинение, можно узнать жесткость тела. Зная, жесткость и удлинение, найти силу упругости. А зная силу упругости и жесткость, вычислить изменение длины.

Как найти удлинение пружины формула. Чему равна жесткость пружины

Не зная, чему равна сила растяжения пружины, невозможно вычислить коэффициент ее жесткости, поэтому найдите силу растяжения. То есть, Fупр = kx , где k и является коэффициентом жесткости. В этом случае вес груза будет равен силе упругости, действующей на тело, коэффициент жесткости которого нужно найти, например, пружины.

При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном — уменьшается. Физика 7 класс, тема 03. Силы вокруг нас (13+2 ч) Сила и динамометр. Виды сил. Уравновешенные силы и равнодействующая. Физика 7 класс, тема 06. Введение в термодинамику (15+2 ч) Температура и термометры.

Особенности расчета жесткости соединений пружин

Приведенная выше информация указывает на то, что коэффициент жесткости является довольно важным параметром, который должен рассчитываться при выборе наиболее подходящего изделия и во многих других случаях. Именно поэтому довольно распространенным вопросом можно назвать то, как найти жесткость пружины. Среди особенностей соединения отметим следующее:

  1. Провести определение растяжения пружины можно при вычислении, а также на момент теста. Этот показатель может зависеть в зависимости от проволоки и других параметров.
  2. Для расчетов могут применяться самые различные формулы, при этом получаемый результат будет практически без погрешностей.
  3. Есть возможность провести тесты, в ходе которых и выявляются основные параметры. Определить это можно исключительно при применении специального оборудования.

Как ранее было отмечено, выделяют последовательный и параллельный метод соединения. Оба характеризуются своими определенными особенностями, которые должны учитываться.

В заключение отметим, что рассматриваемая деталь является важной частью конструкции различных механизмов. Неправильный вариант исполнения не сможет прослужить в течение длительного периода. При этом не стоит забывать о том, что слишком сильная деформация становится причиной ухудшения эксплуатационных характеристик.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Коэффициент жесткости соединений пружин

Приведенный выше показатель коэффициента жесткости детали при параллельном или последовательном соединении определяет многие характеристики соединения. Довольно часто проводится определение тому, чему равно удлинение пружины. Среди особенностей параллельного или последовательного соединения можно отметить нижеприведенные моменты:

  1. При параллельном подключении удлинение обоих изделий будет равным. Не стоит забывать о том, что оба варианта должны характеризоваться одинаковой длиной в свободном положении. При последовательном показатель увеличивается в два раза.
  2. Свободное положение – ситуация, в которой деталь находится без прикладывания нагрузки. Именно оно в большинстве случаев учитывается при проведении расчетов.
  3. Коэффициент жесткости изменяется в зависимости от применяемого способа подсоединения. В случае параллельного соединения показатель увеличивается в два раза, при последовательном уменьшается.
Читайте так же:
Вес металлического листа 3мм

Для проведения расчетов нужно построить схему подключения всех элементов. Основание представлено линией со штриховкой, изделие обозначается схематически, а тело в упрощенном виде. Кроме этого, от упругой деформации во многом зависит кинетическая и другая энергия.

Расчет пружины сжатия из проволоки прямоугольного сечения.

Жесткость пружины из проволоки или прутка прямоугольного сечения при тех же габаритах, что и из круглой проволоки может быть гораздо больше. Соответственно и сила сжатия пружины может быть больше.

Представленная ниже программа является переработанной версией , подробное описание которой вы найдете, перейдя по ссылке. Прочтите эту статью, и вам проще будет разобраться в алгоритме.

Основным отличием в расчете, как вы уже догадались, является определение жесткости витка (C
1)
, задающей жесткость пружины
(C)
в целом.

Далее представлены скриншот программы и формулы для цилиндрической стальной пружины из прямоугольной проволоки, у которой поджаты по ¾ витка с каждого конца и опорные поверхности отшлифованы на ¾ длины окружности.

Внимание.
После выполнения расчета по программе выполняйте проверку касательных напряжений.

4. I
=(D 1/B )-1
5.

При
1/3
:
Y=5,3942*(H/B) 2 -0,3572*(H /B )+0,5272
При 1

:
Y=5,4962*(H/B) (-1.715)
При 2

H
/B: Y =3 ,9286 *(H / B ) (-1. 2339 )
6.

При
HB : C 1 =(78500* H 4 )/(Y * (D 1 — B ) 3)
При H
>B:C 1=(78500*B4)/(Y *(D 1B) 3)
8. T nom
=1,25*(F 2/C 1)+H
9. T max
=π*(D 1B)*tg (10°)
11. S 3
=TH
12. F 3
=C 1*S 3
14. N
расч=(L 2H)/(H+F 3/C 1F 2/C 1)
16. C
=C 1/N
17. L 0
=N*T+H
18. L 3
=N*H+H
19. F 2
=C*L 0C*L 2
21. F 1
=C*L 0C*L 1
22. N 1
=N+1,5
23. A
=arctg (T/(π*(D 1H)))
24. L
разв=π*N 1*(D 1H)/cos (A)
25. Q
=H *B*L разв*7,85/10 6

Коэффициент жесткости цилиндрической пружины

На практике и в физике довольно большое распространение получили именно цилиндрические пружины. Их ключевыми особенностями можно назвать следующие моменты:

  1. При создании указывается центральная ось, вдоль которой и действует большинство различных сил.
  2. При производстве рассматриваемого изделия применяется проволока определенного диаметра. Она изготавливается из специального сплава или обычных металлов. Не стоит забывать о том, что материал должен обладать повышенной упругостью.
  3. Проволока накручивается витками вдоль оси. При этом стоит учитывать, что они могут быть одного или разного диаметра. Довольно большое распространение получил вариант исполнения цилиндрического типа, но большей устойчивостью характеризуется цилиндрический вариант исполнения, в сжатом состоянии деталь обладает небольшой толщиной.
  4. Основными параметрами можно назвать больший, средний и малый диаметр витков, диаметр проволоки, шаг расположения отдельных колец.

Не стоит забывать о том, что выделяют два типа деталей: сжатия и растяжения. Их коэффициент жесткости определяется по одной и той же формуле. Разница заключается в следующем:

  1. Вариант исполнения, рассчитанный на сжатие, характеризуется дальним расположением витков. За счет расстояние между ними есть возможность сжатия.
  2. Модель, рассчитанная на растяжение, имеет кольца, расположенные практически вплотную. Подобная форма определяет то, что при максимальная сила упругости достигается при минимальном растяжении.
  3. Также есть вариант исполнения, который рассчитан на кручение и изгиб. Подобная деталь рассчитывается по определенным формулам.

Расчет коэффициента цилиндрической пружины может проводится при использовании ранее указанной формулы. Она определяет то, что показатель зависит от следующих параметров:

  1. Наружного радиуса колец. Как ранее было отмечено, при изготовлении детали применяется ось, вокруг которой проводится накручивание колец. При этом не стоит забывать о том, что выделяют также средний и внутренний диаметр. Подобный показатель указывается в технической документации и на чертежах.
  2. Количества создаваемых витков. Этот параметр во многом определяет длину изделия в свободном состоянии. Кроме этого, количество колец определяет коэффициент жесткость и многие другие параметры.
  3. Радиуса применяемой проволоки. В качестве исходного материала применяется именно проволока, которая изготавливается из различных сплавов. Во многом ее свойства оказывают влияние на качества рассматриваемого изделия.
  4. Модуля сдвига, который зависит от типа применяемого материала.
Читайте так же:
Как рассчитать намотку трансформатора

Коэффициент жесткости считается одним из наиболее важных параметров, который учитывается при проведении самых различных расчетов.

§ 16.1. Закон Гука

Как связана сила упругости с деформацией? Растягивая пружину, можно заметить, что чем болыпе деформация пружины, тем больше сила упругости. Это — наблюдение.

Оно показывает, что по величине деформации можно судить о силе упругости, то есть деформация может быть мерой силы. Чтобы найти соотношение между деформацией пружины и силой упругости, надо поставить опыт.

Поставим опыт

Измерим удлинение пружины, когда к ней подвешена одна гирька (рис. 16.1, а). Обусловленная этой деформацией пружины сила упругости уравновешивает силу тяжести, действующую на одну гирьку.

Рис. 16.1. Удлинение пружины пропорционально числу подвешенных гирек

Подвесим к пружине вторую такую же гирьку (рис. 16.1, б). Теперь обусловленная деформацией сила упругости уравновешивает силу тяжести, действующую на две гирьки. Мы заметим, что и удлинение пружины тоже стало в два раза больше.

Таким образом, можно предположить, что (модуль силы упругости прямо пропорционален удлинению пружины.

Удлинением пружины называют разность между длиной растянутой пружины и длиной недеформированной пружины.

Подвешивая к пружине новые гирьки, мы убедимся, что опыт подтверждает это предположение (рис. 16.1, в).

Обозначим удлинение пружины х. Поскольку модуль силы упругости F пропорционален удлинению пружины, то можно записать:

Коэффициент пропорциональности k называют жесткостью пружины. Его значение зависит от материала, формы и размеров пружины. Единицей жесткости является 1 Н/м.

Жесткость пружины равна 1 Н/м. Какова сила упругости при удлинении пружины на 1 см?

Соотношение между силой упругости и удлинением пружины установил на опыте английский физик Роберт Гук. Поэтому это соотношение называют законом Гука.

Зная жесткость пружины, можно с помощью этой пружины измерять силу. А чтобы измерить жесткость пружины, надо измерить силу упругости, возникающую при заданном удлинении этой пружины.

Решим задачи

Жесткость пружины k = 100 Н/м. Какая сила упругости возникает при удлинении пружины на 5 см?

При удлинении пружины на 1 см возникает сила упругости 10 Н. Чему равна жесткость пружины?

Прибор для измерения силы называют динамометром. На рис. 16.2, а изображен школьный динамометр, а на рис. 16.2, б — его устройство: видно, что внутри динамометра находится пружина.

Рис. 16.2. Школьный демонстрационный динамометр, рассчитанный на измерение силы, не превышающей 4 Н: а — внешний вид; б — устройство

При построении шкалы пружинного динамометра используют закон Гука (см. лабораторную работу № 7).

Как найти коэффициент упругости пружины формула

Задание 3 № 302

На сколько сантиметров растянется пружина, жёсткость которой под действием силы 100 H? Пружину считайте идеальной.

Удлинение пружины жёсткости под действием силы можно определить по формуле:

В условии нет никаких данных, чтобы судить о том, сохранит ли пружина упругость при данной нагрузке. Другими словами, можно ли при данной нагрузке применить закон Гука?

Следуя «логике» приведенной в решении, можно сделать вывод, что при нагрузке в 1000 Н пружина растянется на 1м, а при нагрузке в 10000Н — на 10м и так далее.

Читайте так же:
Как приварить трубу к трубе перпендикулярно

Пришлось добавить слова про идеальность пружины. Иначе совсем глупость получается, нельзя же в условии написать, что пружина подчиняется закону Гука. Спасибо!

Скоро удалю эти сообщения.

скажите,а удлинение пружины всегда можно находить по этой формуле? Или применение этой формулы от чего то зависит

Как верно было замечено в предыдущем комментарии, для реальных пружин удлинение и сила упругости прямо пропорциональны только при малых деформациях. То есть закон Гука справедлив только приближенно, далее начинают работать поправки, которыми при малых силах можно пренебречь. Обычно пружины в задачах считаются идеальными, то есть данная формула работает, если, конечно, не оговорено противное.

Основная единица СИ метры, почему в ответе сантиметры? Ведь в задании не сказано перевести в сантиметры.

Вопрос задачи: «На сколь­ко сан­ти­мет­ров рас­тя­нет­ся пру­жи­на?»

Задание 3 № 327

На рисунке изображен лабораторный динамометр.

Шкала проградуирована в ньютонах. Каким будет растяжение пружины динамометра, если к ней подвесить груз массой 200 г? (Ответ дайте в сантиметрах.) Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с 2 .

Груз массой 200 г будет растягивать пружину динамометра с силой

Из рисунка видно, что на шкале динамометра деление, отвечающее силе в 2 Н, отстоит от нуля на расстояние 5 см. Таким образом, груз растянет пружину на 5 см.

Задание 3 № 328

Под действием силы 4,5 Н пружина удлинилась на 6 см. Чему равен модуль силы, под действием которой удлинение этой пружины составит 4 см? (Ответ дайте в ньютонах.)

Согласно закону Гука, удлинение пружины пропорционально растягивающей ее силе: Таким образом, потребуется сила в

чтобы растянуть пружину на 4 см.

Во уж это «под действием»! Согласно второму закону Ньютона, если на пружину подействовать одной силой, то центр масс этого тела получит ускорение. Если пружина невесома (идеальна), то под действием одной силы она будет двигаться ускоренно и совсем не будет растягиваться. Если пружина имеет массу отличную от нуля, то расчет ее деформации потребует знания интегрального исчисления.

Добрый день, Юрий!

Спасибо за ценный комментарий. Спасибо, что обращаете внимание на тот факт, что пружину невозможно растягивать, прикладывая одну силу. Пружину, конечно, обычно растягивают двумя одинаковыми противоположно направленными силами, приложенными к разным ее концам. И вообще, я бы даже сказал, что нельзя считать пружину идеальной и прикладывать к ней одну силу. Такая модель становится совсем уж нефизической, из второго закона Ньютона мы бы получили, что пружина стала бы ускоряться с бесконечным ускорением, а значит, сразу бы унеслась куда-то вдаль 🙂

Что же касается формулировки, на мой взгляд, подобная вольность допустима. Можно было бы написать, что один конец пружины жестко закреплен, а ко второму прикладывают некую силу, и так далее. Но это вроде и так должно быть понятно. В любом случае, спасибо за комментарий, подобные замечания, я думаю, очень полезны для наших читателей.

А можно было сначала найти коэффициент упругости? Далее с помощью него найти силу.

Техническая механика

В технике наиболее распространены цилиндрические винтовые пружины из стали круглого поперечного сечения, работающие на растяжение или сжатие. Покажем порядок расчета такой пружины, имеющей небольшой угол подъема витков ( α ≤1 5°).

как рассчитать пружину

В качестве примера рассмотрим цилиндрическую винтовую пружину с диаметром D винтовой оси, диаметром d проволоки, числом витков n , сжимаемую силой F (рис. 5) .

Читайте так же:
Как варить полиэтиленовые трубы

Для определения внутренних силовых факторов применим известный нам метод сечений. Рассечем пружину плоскостью, проходящей через ось, и отбросим нижнюю часть пружины. Ввиду того, что угол α подъема витков мал, будем считать сечение витка поперечным, т. е. кругом диаметром d .

Рассматривая равновесие верхней части пружины (рис. 6) , видим, что в поперечном сечении витка возникают два внутренних силовых фактора:
— поперечная сила Q = F
— крутящий момент МКР = FD / 2 .
Отсюда следует, что в поперечном сечении витка пружины действуют только касательные напряжения сдвига и кручения.

Будем считать, что напряжения сдвига распределены по сечению равномерно, а напряжения кручения определяются, как при кручении прямого кругового цилиндра.
Эпюры распределения напряжений сдвига и кручения, а также эпюра суммарных напряжений в точках горизонтального диаметра сечения представлены на рис. 6 .

Из суммарной эпюры видно, что наибольшие касательные напряжения возникают в точке В , ближайшей к оси пружины:

τmax = τсдв + τкр = Q / S + Мкр / Wр = F / (πD 3 / 4) + (FD / 2) / πd 3 / 16) ,

расчет пружины

τmax = (8FD / πd 3 ) / (d / 2D + 1) .

Если пружина имеет относительно большой средний диаметр и изготовлена из относительно тонкой проволоки, то первое слагаемое в скобках (соответствующее напряжению сдвига) значительно меньше единицы и в практических расчетах им можно пренебречь; тогда:

Для приближенного расчета цилиндрических пружин на прочность применяется формула:

Поскольку пружины обычно изготавливают из высококачественной стали, допускаемое напряжение принимают равным в пределах [τ] = 200….1000 МПа.

Расчет осадки цилиндрической пружины

Далее выведем формулу для определения уменьшения высоты (осадки) λ пружины. Для этого мысленно разобьем пружину на бесконечно малые участки длиной dl , которые ввиду малости длины будем считать прямолинейными, и учитывая только потенциальную энергию деформации кручения, получим:

где l = πDn длина проволоки пружины.

Работа силы F , приложенной к пружине статически, будет равна W = Fλ / 2 .
Так как W =U , то Мкр = FD / 2 , следовательно Ip = πd 4 / 32 , тогда получаем:

Fλ / 2 =[(Fλ / 2) 2 πDn] / (2G πd 4 / 32) , откуда: λ = 8 FD 3 n / (Dd 4 ) .

Эту формулу можно записать в таком виде:
λ = F / С ,
где: С = Gd 4 / 8D 3 n – коэффициент жесткости пружины.
При λ = 1, С = F , поэтому коэффициент жесткости численно равен силе, вызывающей осадку, равную единице длины.
Отношение среднего диаметра витков к диаметру проволоки обозначают Сn и называют индексом пружины :

Обычно индекс пружин равен Сn = 4….12 .

При более точных расчетах винтовых пружин учитывают кривизну их витков и вводят в числитель формулы (1) поправочный коэффициент К ≈ 1 + 1,45 / Cn .

Пример расчета цилиндрической пружины

расчет пружин на усадку и жесткость

Определить диаметр проволоки стальной пружины, если под действием силы F = 800 Н ее осадка λ = 39 мм.
Индекс пружины Сn = 6, число витков n = 14.
Модуль упругости стали пружины G = 8 х 10 4 Мпа, допускаемое напряжение [τ] = 450 МПа.

Решение.

Используя формулу для определения индекса пружины Сn = D / d , получим: D = Сn d . Подставляем это значение D в формулу для определения осадки пружины:

λ = 8 FD 3 n / (Dd 4 ) = 8 FD 3 n / (Gd 4 ) = 8 F Сn 3 d 3 n / (Gd 4 ), откуда найдем d и после подстановки числовых значений получим:

d = 8 F Сn 3 n / λ G = 8 х 800 х 106 х 14 / 39 х 10 -3 х 8 х 104 х 106 = 7 х 10 -3 м = 7 мм.

Итак, диаметр проволоки цилиндрической пружины должен быть не менее 7 мм, а средний диаметр самой пружины D = Сn d = 6 х 7 = 42 мм.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector